【疑問】対数オッズやオッズ比の標準誤差、デルタ法でどう出すん【統計検定1級】

比率 $\hat{p}$ の標準誤差は出せるけど、対数オッズ $\log \frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}$ の標準誤差を聞かれると手が止まる

前提のおさらいを2つ
最尤推定量は漸近的に $\sqrt{n}(\hat{\theta }-\theta )\to N(0,{\sigma }^2)$（${\sigma }^2=1/I(\theta )$）
1次のテイラー展開 $g(x)\approx g(a)+g^{\prime }(a)(x-a)$

＞＞1
デルタ法は1次のテイラー展開をそのまま使う
$g(\hat{\theta })-g(\theta )\approx g^{\prime }(\theta )(\hat{\theta }-\theta )$ やから

＞＞3
対数オッズなら $g(p)=\log \frac{p}{1-p}$、$g^{\prime }(p)=\frac{1}{p(1-p)}$
$\hat{p}$ の分散 $\frac{p(1-p)}{n}$ にかけると、対数オッズの分散は $\frac{1}{np(1-p)}$
$n=100,\hat{p}=0.3$ なら標準誤差 $1/\sqrt{21}\approx 0.218$

＞＞4
信頼区間にすると、対数オッズ $\log (0.3/0.7)\approx -0.847$ に対して $-0.847\pm 1.96\times 0.218$ で $(-1.275,-0.420)$
$p$ に戻すと $(0.218,0.397)$。$p=0.3$ の左右で幅が違う

2群のオッズ比も同じ考え方。A群100人中30人、B群100人中15人なら
オッズ比 $\frac{30\times 85}{70\times 15}\approx 2.43$、対数をとると $0.887$
対数オッズ比の標準誤差は $\sqrt{\frac{1}{30}+\frac{1}{70}+\frac{1}{15}+\frac{1}{85}}\approx 0.355$

＞＞6
その $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\cdots$ の形はどこから来るん

＞＞7
各群の対数オッズの分散が $\frac{1}{np(1-p)}=\frac{1}{\text{成功数}}+\frac{1}{\text{失敗数}}$ で、2群は独立やから足し算
95%区間は $\exp (0.887\pm 1.96\times 0.355)$ で $(1.21,4.87)$

＞＞3
1次の項で近似してるだけやろ。$g^{\prime }(\theta )=0$ になったら分散0になってしまう

＞＞9
そのとおりで、そのときは2次の項まで要る。$g(p)=p(1-p)$ は $p=0.5$ で $g^{\prime }=0$
このとき $g(\hat{p})-g(p)\approx \frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(p)(\hat{p}-p{)}^2$ で、極限はカイ二乗分布の定数倍。$\sqrt{n}$ でなく $n$ の速さになる

＞＞9
ふつうの場面ではまず1次で足りる。$g^{\prime }$ が0になるかだけ確かめておけばいい

分散が母数によらなくなる変換を選ぶ使い方もある
ポアソン $\bar{X}$ に $g(x)=\sqrt{x}$ を使うと、分散は ${\left(\frac{1}{2\sqrt{\lambda }}\right)}^2\cdot \frac{\lambda }{n}=\frac{1}{4n}$ で $\lambda$ が消える（分散安定化変換）

$g^{\prime }$ を計算する、元の分散にかける、区間は変換した側で作って戻す。デルタ法はこの3段やな