【疑問】統計数理の答案、定義→導出→結論の型で90分に収めるにはどう書くん？指数分布の1問で練習したい【統計検定1級】

$X_1,\dots ,X_{10}$ が独立に密度 $\lambda e^{-\lambda x}$ の指数分布、$\sum x_i=25$。(1) 最尤推定量 (2) $H_0:\lambda =0.5$ の尤度比検定 (3) $\lambda$ の95%信頼区間、を答案の形で書け、って問題

前提のおさらいを2つ
尤度比検定：$H_0$ のもとで $-2\log \Lambda$ は漸近的に自由度（制約の数）のカイ二乗分布
最尤推定量は漸近的に $N(\theta ,1/(nI(\theta )))$

＞＞1
(1) の答案。定義・導出・結論を1行ずつ
定義：$L(\lambda )={\lambda }^n{e}^{-\lambda \sum x_i}$、$\ell (\lambda )=n\log \lambda -\lambda \sum x_i$
導出：${\ell }^{\prime }(\lambda )=n/\lambda -\sum x_i=0$ より $\lambda =n/\sum x_i$。${\ell }^{\prime \prime }(\lambda )=-n/{\lambda }^2<0$ で最大
結論：$\hat{\lambda }=n/\sum X_i=1/\bar{X}$。数値は $10/25=0.4$

(2) の答案

${\lambda }_0\bar{x}=0.5\times 2.5=1.25$ で、$20\times (1.25-1-\log 1.25)\approx 20\times (0.25-0.223)\approx 0.54$
結論：${\chi }_1^2$ の上側5%点3.84より小さいので、有意水準5%で $H_0$ は棄却されない

＞＞4
$\log 1.25$ なんか普通電卓で出んやん

＞＞5
問題文に値があればそれを使う。なければ不等式で逃げる。$x\ge 0$ で $\log (1+x)\ge x-x^2/2$ やから $\log 1.25\ge 0.25-0.03125=0.219$
よって $-2\log \Lambda \le 20\times (0.25-0.219)=0.625<3.84$
値を出し切らなくても、結論に必要な大小だけ示せば答案になる

(3) の答案。$2\lambda \sum X_i\sim {\chi }_{20}^2$（指数分布の和がガンマ分布になるから）をピボットにする
$9.59\le 2\lambda \times 25\le 34.17$ から $(0.192,0.683)$
漸近正規で書くなら $0.4\pm 1.96\times 0.4/\sqrt{10}=(0.152,0.648)$。正確な区間があるなら、そっちを先に書く

＞＞3
途中式を全部書いてたら時間が足りん。結論の数字だけ書いて次の小問に行ったほうが得やろ

＞＞8
数字だけやと、合ってても導出が見えないし、間違ってたら何も残らない。全部の変形を書けとは言わんけど、「尤度」「微分して0」「2階微分が負」の3行は省かんほうがいい
1問26分くらいが目安やから、小問1つに使えるのは8分前後。式は要所だけ、結論は1文で言い切る

＞＞9
逆に、答えに自信がなくても「方針 → ここまでの式」を書いておけば、そこまでは読んでもらえる。白紙がいちばん損

＞＞7
小問の答えが次の小問で使われることが多いから、(1) の結論は (2) の頭でもう一度書いておくと、読む側が追いやすい

定義の式・導出の要所・結論の1文、数値は普通電卓か不等式で、正確な区間があれば先に、小問1つ8分前後。これで型どおり書けるな