【疑問】統計応用（理工学）の答案、ソフトの出力の読みと数理の説明をどう組み合わせて書くん【統計検定1級】

重回帰の出力（$n=20$、説明変数2つ）で $x_1$ の係数 $1.8$、標準誤差 $0.6$、t 値 $3.00$、p 値 $0.008$。この結果を解釈し、t 値が t 分布に従う理由を説明せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
回帰の係数表は、推定値・標準誤差・t 値（推定値/標準誤差）・p 値の順に並ぶ。区間は推定値 $\pm t_{0.025}\times$ 標準誤差
直交表の分散分析では、各列の平方和と誤差分散から F を出し、プーリングするなら基準を先に決める

＞＞1
答案は3つの段に分ける。(a) 出力の読み (b) 数理の説明 (c) 文脈での結論と注意

＞＞3
(a) 出力の読み
自由度は $n-p=20-3=17$、$t_{0.025}(17)=2.110$
95%区間は $1.8\pm 2.110\times 0.6=(0.53,3.07)$。0を含まないので、5%水準で ${\beta }_1\ne 0$
「$x_2$ を固定したとき、$x_1$ が1増えると $y$ は平均で約1.8増える」と単位つきで書く

＞＞3
(b) 数理の説明。誤差が独立に $N(0,{\sigma }^2)$ のとき
${\hat{\beta }}_1\sim N({\beta }_1,{\sigma }^2[(X^{\top }X{)}^{-1}{]}_{11})$、$(n-p)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-p}^2$ で、2つは独立

＞＞5
独立が成り立つのは、$\hat{\beta }$ が $X$ の列が張る空間への射影で、残差がそれと直交する空間にあるから。正規なら無相関は独立

＞＞4
p 値0.008 なんやから、$x_1$ が $y$ を増やす原因って結論でええやろ

＞＞7
データが観察で集めたものなら、言えるのは「$x_2$ を固定したときの関連」まで。入ってない変数が両方に効いてたら、係数はそれを拾ってる
(c) の段では、実験で $x_1$ を割り付けたのか、観察なのかを書いて、因果まで言えるかを分けて書く。残差の図で等分散や外れ値を確かめた、の一言も入れたい

＞＞1
理工学の分野なら、出力の読みだけで点になるんちゃう？数理まで書く必要ある？

＞＞9
出力だけの問題もあるけど、「なぜこの F が F 分布に従うか」「この平均平方の期待値はいくらか」みたいに数理を聞く小問が混ざることがある
たとえば直交表の分析なら、プーリングの基準と、誤差の自由度が1だと検出力が出ない理由（$F(1,1)$ の5%点が161）まで書けると強い。変量効果なら $E[M{S}_A]={\sigma }^2+n{\sigma }_A^2$ を導いて推定につなげる

＞＞3
3段に分けると、計算を間違えても (b) と (c) は別に読んでもらえる。どの段の答えかを見出しで示すと採点者が迷わない

(a) 自由度・区間・単位つきの解釈、(b) 正規と独立から t や F を導く、(c) 観察か実験か・残差の確認。これで出力と数理を組み合わせて書けるな