【疑問】カルマンフィルタって何をしてるん？ローカルレベルモデルで手で回してみたい【統計検定1級】

ローカルレベルモデルで、観測 $12,11,14$ に対してカルマンフィルタを3回まわせ、って問題

前提のおさらいを2つ
2変量正規で $Y=y$ を与えたときの $X$ は $E[X\mid y]={\mu }_X+\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V[Y]}(y-{\mu }_Y)$、$V[X\mid y]=V[X]-\frac{\mathrm{Cov}(X,Y{)}^2}{V[Y]}$
ランダムウォークは AR(1) で $\varphi =1$ にしたもの

＞＞1
ローカルレベルモデルは、見えない水準 ${\mu }_t$ がランダムウォークして、観測はそれに誤差がのったもの

1時点ごとに「予測」と「観測での更新」をくり返す

＞＞3
予測：$a^{-}=a$、$P^{-}=P+q$。更新は前提の条件付き正規の式そのまま
$\mathrm{Cov}({\mu }_t,y_t)=P^{-}$、$V[y_t]=P^{-}+r$ やから

数字で。最初 $a=10$、$P=4$、$q=0.5$、$r=1$
$y=12$：$P^{-}=4.5$、$K\approx 0.818$、$a\approx 11.64$、$P\approx 0.818$
$y=11$：$P^{-}\approx 1.318$、$K\approx 0.569$、$a\approx 11.27$、$P\approx 0.569$
$y=14$：$P^{-}\approx 1.069$、$K\approx 0.517$、$a\approx 12.68$、$P\approx 0.517$

＞＞5
最初は $P=4$ で水準がよく分からんから、$K$ が大きくて観測に寄る。回すほど $P$ が縮んで、$K$ が0.5に近づいてる

＞＞6
0.5 はどこから来るん

＞＞7
落ち着いた先では予測の分散 $P^{-}$ が毎回同じになる。$P^{-}=(1-K)P^{-}+q$ に $K=P^{-}/(P^{-}+r)$ を入れて解くと
$P^{-}=\frac{q+\sqrt{q^2+4qr}}{2}=\frac{0.5+1.5}{2}=1$、$K=1/2$
このとき $a_t=0.5y_t+0.5a_{t-1}$ で、指数平滑そのもの

＞＞4
$K$ が観測の重みなんやったら、観測を信じて $K=1$ にしといたらええやん

＞＞9
$K=1$ やと観測の誤差 $r$ がそのまま水準の推定に入る。$K$ は $q$ と $r$ の比で決まる釣り合いで、$q/r$ が大きい（水準がよく動く）ほど1に近く、$q\to 0$ なら全部の平均に近づく

＞＞4
実際のデータで $q$ と $r$ は分からんやろ

＞＞11
予測誤差 $v_t=y_t-a^{-}$ が $N(0,P^{-}+r)$ に従うから、それを掛け合わせた尤度を $q,r$ について最大にする。フィルタを回しながら尤度が計算できるのが強み

予測で $P$ に $q$ を足す、更新は条件付き正規の式で $K=P^{-}/(P^{-}+r)$、落ち着くと指数平滑、$q,r$ は予測誤差の尤度で決める。これで手で回せるな