【疑問】符号付き順位和検定の分布、小さいnなら全部数え上げられるってほんま？n=5だと有意にならんのはなんで【統計検定1級】

対応のある6組の差で、ウィルコクソンの符号付き順位和検定をせよ、分布は数え上げて、って問題

前提のおさらいを2つ
符号検定は差の符号だけを使い、プラスの数を $Bin(n,1/2)$ で調べた
順位和検定では、帰無仮説のもとで順位の並び方がすべて同じ確率になることから分布を出した

＞＞1
差の絶対値に順位をつけて、プラスの差の順位だけ足したのが $T^{+}$
差の分布が0について対称なら、各順位の符号は独立に半々。だから $2^n$ 通りの符号のつけ方が全部同じ確率

数字で。差は $0.5,1.8,-0.7,2.4,1.1,3.0$
絶対値の順位は $1,4,2,5,3,6$。マイナスは順位2の1個だけ
$T^{+}=1+4+5+3+6=19$、$T^{-}=2$（合計 $21=6\times 7/2$）

＞＞4
$2^6=64$ 通りのうち $T^{+}\ge 19$、つまり $T^{-}\le 2$ になるのは
$T^{-}=0$（全部プラス）、$T^{-}=1$（順位1だけマイナス）、$T^{-}=2$（順位2だけマイナス）の3通り

＞＞3
平均と分散も出せる。順位 $k$ が入るかどうかは独立なベルヌーイやから
$E[T^{+}]=\sum \frac{k}{2}=\frac{n(n+1)}{4}$、$V[T^{+}]=\sum \frac{k^2}{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$
$n=6$ で $10.5$ と $22.75$。正規近似（連続修正）は $z=(18.5-10.5)/\sqrt{22.75}\approx 1.68$、片側約0.047

＞＞5
$n=5$ でもやれるやろ。全部プラスなら十分強い証拠やん

＞＞7
$n=5$ やと、全部プラスでも確率 $1/2^5=1/32\approx 0.031$。両側では $2/32=0.0625$ で、どんなデータでも両側5%で棄却できない
離散の検定は、$n$ が小さいとP値がとれる値の最小値が大きい。データを集める前に確かめておくこと

＞＞8
$n=6$ なら両側の最小P値は $2/64\approx 0.031$ で、やっと5%を下回れる

＞＞3
符号検定との違いは、大きい差ほど重く数えるところ。そのぶん分布が0について対称という仮定を足してる

絶対値に順位、プラスの順位を足す、$2^n$ 通りで数える、平均 $\frac{n(n+1)}{4}$ と分散 $\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$。数え上げはこれで書けるな