【疑問】スピアマンとケンドールの順位相関、同じデータで値が違うのはなんで？検定はどう考えるん【統計検定1級】

12レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

6人の2つの順位からスピアマンとケンドールの順位相関を出せ、って問題
同じデータやのに0.83と0.6で、どっちを信じたらええん

2: 名無しさん

前提のおさらい。ピアソンの相関係数は $r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}$ で、直線的な関係の強さを測る

3: 名無しさん

＞＞1
スピアマンは、順位に置きかえてからピアソンの相関を計算したもの。同順位がなければ

r_{s} = 1 - \frac{6 \sum d _{i}^{2}}{n ( n ^{2} - 1 )}

$d_{i}$ は2つの順位の差

4: 名無しさん

数字で。 $x$ の順位 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 、 $y$ の順位 $2, 1, 4, 3, 6, 5$
$d = - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1$ 、 $\sum d^{2} = 6$
$r_{s} = 1 - 36/210 \approx 0.829$

5: 名無しさん

＞＞1
ケンドールは、ペアを全部見て、順番がそろう組とそろわない組を数える

τ = \frac{( 一致する組 ) - ( 一致しない組 )}{n ( n - 1 ) /2}

例では15組のうち、入れかわってるのは $(1, 2), (3, 4), (5, 6)$ の3組。 $τ = (12 - 3) /15 = 0.6$

6: 名無しさん

＞＞5
値が違うのは測ってるものが違うから。 $τ$ は「2人を選んだとき順番がそろう確率」から「そろわない確率」を引いた値で、 $(1 + τ) /2 = 0.8$ がそろう確率
$r_{s}$ は順位の差の2乗で測るから、大きくずれた人を重く見る。同じデータでも $∣ τ ∣$ は $∣ r_{s} ∣$ より小さめに出ることが多い

7: 名無しさん

検定の考え方。独立なら順位の並びは $n!$ 通り全部同じ確率で、小さい $n$ なら数え上げられる
大きい $n$ では $V [r_{s}] = 1/ (n - 1)$ 、 $V [τ] = \frac{2 ( 2 n + 5 )}{9 n ( n - 1 )}$ を使って正規近似
$n = 6$ で $τ$ の分散は約0.126、 $z = 0.6/ 0.126 \approx 1.69$ 。 $r_{s}$ は $z = 0.829 5 \approx 1.85$

8: 名無しさん

＞＞7
$n = 6$ で正規近似って、さすがに無理あるやろ

9: 名無しさん

＞＞8
無理がある。この大きさなら $720$ 通りを数えた正確な分布を使う。近似は $n$ が10を超えたあたりからの話

10: 名無しさん

＞＞2
順位にすると何が得なん

11: 名無しさん

＞＞10
単調な関係なら直線でなくても1になる。 $x = 1, \dots, 6$ と $y = x^{3}$ では、ピアソンは約0.938、スピアマンとケンドールは1
外れ値にも強い。極端な値も順位では1つ上がるだけ

12: 名無しさん

スピアマンは順位のピアソン、ケンドールは一致・不一致の組の差、測るものが違うから値も違う、小さい $n$ は数え上げ。これで答えられるな

管理人のひとこと

スピアマン $r_{s} = 1 - 6 \sum d_{i}^{2} / (n (n^{2} - 1))$ は順位のピアソン相関。ケンドール $τ$ は一致する組と一致しない組の差の割合。
例（ $n = 6$ ）： $r_{s} \approx 0.829$ 、 $τ = 0.6$ （入れかわり3組）。 $(1 + τ) /2 = 0.8$ が順番のそろう確率。
独立のもとで順位は $n!$ 通りが等確率。大きい $n$ では $V [r_{s}] = 1/ (n - 1)$ 、 $V [τ] = 2 (2 n + 5) / (9 n (n - 1))$ で正規近似。単調な関係なら直線でなくても1になる。

【疑問】スピアマンとケンドールの順位相関、同じデータで値が違うのはなんで？検定はどう考えるん【統計検定1級】

管理人のひとこと

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