【疑問】一様最強力検定って、対立仮説のどの値に対しても一番強いってほんま？単調尤度比って何【統計検定1級】

$H_0:\lambda \le 1$、$H_1:\lambda >1$ の一様最強力検定を求めよ、って問題
ネイマン・ピアソンは単純仮説どうしの話やのに、範囲の仮説でどう使うん

前提のおさらい。ネイマン・ピアソンの基本定理は、${\theta }_0$ 対 ${\theta }_1$ の単純仮説で、尤度比 $L({\theta }_1)/L({\theta }_0)>k$ を棄却域にした検定が最強力、という主張
$N(\mu ,1)$、$n=9$、$\mu$ が0か1かなら、棄却域は $\bar{x}>0.548$ で、${\mu }_1$ の値は棄却域に入らなかった

＞＞1
一様最強力（UMP）は、対立仮説のどの $\theta$ に対しても、サイズ $\alpha$ 以下の検定の中で検出力が最大、という意味
作れるかどうかは単調尤度比で決まる

＞＞3
この性質があれば、どの ${\theta }_1>{\theta }_0$ でも「尤度比 $>k$」は「$T>c$」と同じになる。棄却域が ${\theta }_1$ によらないから、全部の ${\theta }_1$ で同時に最強力
帰無仮説が範囲でも、検出力関数は $\theta$ について増えるから、サイズは境界 ${\theta }_0$ で決まる（カーリン・ルビンの定理）

＞＞3
指数型分布族 $f(x;\theta )=h(x)c(\theta )\exp (w(\theta )T(x))$ で、$w(\theta )$ が増加関数なら単調尤度比をもつ
尤度比は $(c({\theta }_2)/c({\theta }_1){)}^n\exp ((w({\theta }_2)-w({\theta }_1))\sum T(x_i))$ で、$\sum T$ の増加関数

＞＞1
ポアソンで数字を。$n=5$、$T=\sum X_i$、$w(\lambda )=\log \lambda$ は増加関数
$\lambda =1$ のもとで $T\sim Po(5)$、$P(T\ge 10)\approx 0.0318$。だから「$T\ge 10$ で棄却」がサイズ約0.0318のUMP検定
検出力は $\lambda =1.5$ で $P(Po(7.5)\ge 10)\approx 0.224$、$\lambda =2$ で $P(Po(10)\ge 10)\approx 0.542$

＞＞4
じゃあ両側の $H_1:\mu \ne 0$ でもUMPを作ればええやん

＞＞7
両側ではUMPは存在しない。$N(\mu ,1)$、$n=9$ で
$\mu >0$ に最強力な $\bar{x}>0.548$ は、$\mu =-1$ での検出力がほぼ0（約 $2\times 10^{-6}$）
両側の $|\bar{x}|>0.653$ は、$\mu =1$ での検出力が約0.851で、片側の約0.912に負ける
どっちの側でも一番、という検定は作れない

＞＞8
両側で使う理屈は別にある。検出力がサイズを下回らない「不偏」な検定に絞ると、その中で一様最強力なものがある（UMP不偏検定）。正規の両側検定はそれ

単調尤度比がない分布もある。コーシー分布の位置母数では尤度比が $x$ について単調にならないから、この作り方は使えない

単調尤度比を確かめる、統計量の大きいほうを棄却域にする、境界でサイズを決める。答案はこの順でええな