【疑問】ネイマン・ピアソンの基本定理、なんで尤度比で棄却域を決めると一番検出力が高くなるん【統計検定1級】

単純仮説どうしの最強力検定を導け、って問題
尤度比を使うのは覚えてるけど、なぜそれが最強なのか説明できん

前提のおさらいを2つ
検出力は対立仮説のもとで棄却する確率で、サイズを決めたうえでこれを最大にしたい
尤度 $L(\theta )=\prod f(x_i;\theta )$ はデータを固定した $\theta$ の関数

＞＞1
主張から。$H_0:\theta ={\theta }_0$、$H_1:\theta ={\theta }_1$ で

となる検定は、サイズ $\alpha$ 以下のどの検定よりも検出力が高い

＞＞3
証明は1つの不等式。$R$ の指示関数を $\varphi$、ほかの検定の指示関数を ${\varphi }^{\prime }$ とすると、どの $x$ でも

$f_1>k{f}_0$ なら $\varphi =1$ で前の因子は0以上、$f_1<k{f}_0$ なら $\varphi =0$ で前の因子は0以下

＞＞4
これを積分すると
$(\text{検出力}-{\text{検出力}}^{\prime })-k(\alpha -{\alpha }^{\prime })\ge 0$
${\alpha }^{\prime }\le \alpha$ やから、検出力 $\ge$ 検出力${}^{\prime }$。おしまい

正規分布で使う。$N(\mu ,1)$、$n=9$、$H_0:\mu =0$、$H_1:\mu =1$
尤度比は $\exp (\sum x_i-n/2)$ で、$\bar{x}$ について増える。だから「尤度比 $>k$」は「$\bar{x}>c$」と同じ
サイズ5%なら $c=1.645/3\approx 0.548$、検出力は $\Phi (3-1.645)=\Phi (1.355)\approx 0.912$

＞＞6
棄却域に ${\mu }_1=1$ の値が入ってこないんやな。${\mu }_1$ が0より大きければ、同じ棄却域になる

離散なら？

＞＞8
ポアソンで $H_0:\lambda =1$、$H_1:\lambda =2$、$n=5$。尤度比は合計 $T$ について増えて、$T\sim Po(5)$（$H_0$ のもと）
$P(T\ge 10)\approx 0.0318$、$P(T\ge 9)\approx 0.0681$ で、5%ちょうどの棄却域がない
$T\ge 10$ で棄却し、$T=9$ のときは確率 $\gamma \approx 0.501$ で棄却すると、サイズがちょうど5%になる

＞＞9
$T\ge 10$ だけの検定の検出力は $P(Po(10)\ge 10)\approx 0.542$

＞＞9
くじで棄却なんて、実際には誰も使わんやろ。定理のための作りものに見える

＞＞11
実務では使わないけど、定理を「どのサイズでも成り立つ」形で言うには要る。確率化を許さないなら、とれるサイズ（ここでは約0.0318）ごとに最強力、と言い直せばいい

尤度比で棄却域を決める、$(\varphi -{\varphi }^{\prime })(f_1-k{f}_0)\ge 0$ を積分、統計量の単調な関数に直す。この3段で答案になるな