【疑問】n人のプレゼント交換で全員が他人のをもらう確率、人数を増やすと約0.37で止まるってほんま？包除原理【統計検定1級】

19レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

n人が自分のプレゼントを箱に入れて、よく混ぜて1つずつ引く
全員が他人のを引く確率、人数が増えたら0か1に行くと思ってたのに、約0.37で止まるらしい

2: 名無しさん

前提のおさらい。2つの事象の「または」は

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

重なりを2回数えたぶん、1回引く

3: 名無しさん

3つならこう

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)

4: 名無しさん

＞＞3
数字で。1から100のうち、2・3・5のどれかで割り切れる数は

50 + 33 + 20 - (16 + 10 + 6) + 3 = 74

引き算の16・10・6は6・10・15の倍数、最後の3は30の倍数の個数
どれでも割り切れないのは $100 - 74 = 26$ 個

5: 名無しさん

＞＞3
最後に3つの重なりを足し戻すのはなんで

6: 名無しさん

＞＞5
3つ全部に入ってる点は、1段目で3回数えて、2段目で3回引かれて0回になってる。だから1回足す
一般に $k$ 個の事象に入ってる点の数え方は

(1 k) - (2 k) + (3 k) - \dots = 1 - (1 - 1)^{k} = 1

ちょうど1回ずつ数えたことになる

7: 名無しさん

一般の形は、 $S_{k}$ を「 $k$ 個ずつの共通部分の確率をぜんぶ足したもの」として

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) = S_{1} - S_{2} + S_{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} S_{n}

8: 名無しさん

＞＞1
本題。 $A_{i}$ を「 $i$ 番目の人が自分のを引く」事象にする
求めたいのは誰も自分のを引かない確率で、 $1 - P (A_{1} \cup \dots \cup A_{n})$

9: 名無しさん

＞＞8
$P (A_{1} \cap A_{2})$ はどう出すん

10: 名無しさん

＞＞9
1番と2番が自分のを引くのが決まったら、残りの $n - 2$ 人の並べ方は $(n - 2)!$ 通り
全体は $n!$ 通りやから $P (A_{1} \cap A_{2}) = (n - 2)! / n!$
指定した $k$ 人が全員自分のを引く確率は $(n - k)! / n!$

11: 名無しさん

＞＞10
$k$ 人の選び方が $(k n)$ 通りあるから

S_{k} = (k n) \frac{( n - k )!}{n !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} \cdot \frac{( n - k )!}{n !} = \frac{1}{k !}

$n$ が消えるのがこの問題の山

12: 名無しさん

＞＞11
包除原理に入れると

P (誰も自分のを引かない) = 1 - (1 - \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} - \dots) = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}

$n \to \infty$ で $e^{- 1} \approx 0.3679$ に行く

13: 名無しさん

＞＞12
ほんまか数えた。3人なら

1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

並べ方6通りのうち全員外れは (2,3,1) と (3,1,2) の2通りで、確かに $2/6$
4人で $9/24 = 0.375$ 、5人で $44/120 \approx 0.3667$ 。全部並べて数えた結果と式が合った

14: 名無しさん

＞＞12
でも人数が増えたら、誰か1人くらい自分のを引きそうな気がするけどな

15: 名無しさん

＞＞14
自分のを引く人数の期待値を出すと分かる

E [当たる人数] = i = 1 \sum n P (A_{i}) = n \times \frac{1}{n} = 1

期待値の線形性やから、独立でなくても使える。人数が何人でも平均1人で変わらんから、0人の確率も $n$ によらず落ち着く

16: 名無しさん

近似はどれくらい正確なん

17: 名無しさん

＞＞16
符号が交互に変わる級数やから、ずれは打ち切った次の項 $1/ (n + 1)!$ 以下
$n = 5$ なら $1/720 \approx 0.0014$ 以下で、実際のずれは約 $0.0012$

18: 名無しさん

ちょうど $k$ 人が当たる数も見ておくと面白い。4人の24通りでは、0人が9、1人が8、2人が6、3人が0、4人が1
3人だけ当たるのは無理。残りの1人も自動的に当たるから
$n$ が大きいと当たる人数は平均1のポアソン分布に近づく。7人で0人・1人・2人が約0.368・0.368・0.183、ポアソンでは0.368・0.368・0.184

19: 名無しさん

＞＞18
答案にするなら、事象 $A_{i}$ の定義 → 包除原理 → $S_{k} = 1/ k!$ の理由（残り $n - k$ 人の並べ方）→ 結論、の順やな

管理人のひとこと

包除原理は $P (⋃ A_{i}) = S_{1} - S_{2} + S_{3} - \dots$ （ $S_{k}$ は $k$ 個ずつの共通部分の確率の和）。例：1〜100で2・3・5のどれかで割り切れる数は $50 + 33 + 20 - 32 + 3 = 74$ 。
モンモール問題では指定した $k$ 人が当たる確率が $(n - k)! / n!$ で、 $S_{k} = 1/ k!$ 。誰も当たらない確率は $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} / k!$ で、 $n \to \infty$ で $1/ e \approx 0.368$ 。
3人で $1/3$ 、4人で $0.375$ 、5人で約 $0.367$ 。ずれは $1/ (n + 1)!$ 以下。
当たる人数の期待値は $n$ によらず1（線形性）。人数の分布は平均1のポアソン分布に近づく。

【疑問】n人のプレゼント交換で全員が他人のをもらう確率、人数を増やすと約0.37で止まるってほんま？包除原理【統計検定1級】

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