【疑問】層化抽出・集落抽出・二段抽出、推定量の分散はどれが小さいん？調査の重み付けも知りたい【統計検定1級】

単純無作為抽出・層化抽出・二段抽出で、母平均の推定量の分散を比べよ、って問題

前提のおさらいを2つ
大きさ $N$ の母集団から $n$ 個を戻さずに引くと、標本平均の分散は $(1-f)\frac{S^2}{n}$（$f=n/N$、$S^2$ は母集団の分散）
不偏推定量は、どの母数の値でも期待値が母数に一致する推定量

数字の母集団。$N=1000$ を2層に分ける
層1：600人、平均50、標準偏差10。層2：400人、平均80、標準偏差30。全体の平均62
全体の分散はおよそ、層内の平均 $0.6\times 100+0.4\times 900=420$ と層間 $0.6\times 12^2+0.4\times 18^2=216$ の和で $636$

＞＞3
$n=100$（$f=0.1$）で比べる
単純無作為：$0.9\times 636/100\approx 5.72$
比例配分の層化（60人と40人）：$\frac{1-f}{n}\sum W_h{S}_h^2=0.9\times 420/100=3.78$。層間の分散216が消える

＞＞4
ネイマン配分は、ばらつきの大きい層2に多く割り当てる。$600\times 10:400\times 30=1:2$ で、約33人と67人

＞＞1
集落抽出・二段抽出は逆に分散が大きくなる。同じ集落の人は似てるから、10人とっても10人分の情報にならない
集落内の相関を $\rho$、1集落から $m$ 人とると、分散は単純無作為のおよそ $1+(m-1)\rho$ 倍（デザイン効果）
$m=10$、$\rho =0.05$ でも1.45倍

＞＞6
分散が大きくなるなら、集落抽出なんか使わんほうがええやん

＞＞7
費用で考える。全国から無作為に100人やと移動や名簿の手間がかかるけど、地区を選んでその中で調べれば安い
同じ費用でたくさん集められるなら、デザイン効果1.45を払っても全体の精度は上がることがある。分散だけで比べると片手落ち

調査の重み付けも同じ考え方で書ける。単純無作為で100人とったら、たまたま層1が70人、層2が30人やったとする
層ごとの平均が51と79なら、そのまま平均すると $(70\times 51+30\times 79)/100=59.4$
母集団の構成 $0.6,0.4$ で重みをつけ直すと $0.6\times 51+0.4\times 79=62.2$（事後層化）
1人あたりの重みは層1が $0.6/0.7\approx 0.857$、層2が $0.4/0.3\approx 1.333$。足りない層の回答者を多めに数える（ウェイトバック）

＞＞9
重みで直せるのは、層の構成のずれだけ。層の中で答えた人と答えなかった人が違うなら、重みをつけても偏りは残る

層化は層間の分散を消す、ネイマン配分は $N_h{S}_h$ に比例、集落はデザイン効果で膨らむ、重み付けは構成のずれを直す。これで比べられるな