【疑問】比率の95%信頼区間、本当に95%の確率で当たってるん？クロッパー・ピアソンとウィルソンって何【統計検定1級】

12レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

20人中3人が「はい」と答えた。 $\overset{p}{^} \pm 1.96 \overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^}) / n$ で区間を出したら、下限がマイナスになった

2: 名無しさん

前提のおさらいを2つ
信頼区間は、ピボットや検定を使って「くり返すと $1 - α$ の割合で真の値を含む」ように作るもの
二項分布は正規近似できるけど、 $n p$ が小さいと近似が外れる

3: 名無しさん

＞＞1
その式（ワルド型）で計算すると $0.15 \pm 0.156$ で $(- 0.006, 0.306)$ 。 $n p = 3$ くらいでは近似が粗すぎる

4: 名無しさん

＞＞3
実際に何%当たるかは計算できる。真の $p$ を決めると、 $x = 0, \dots, n$ のどれが出たときに区間が $p$ を含むかが決まるから

被覆確率 (p) = x : p \in CI (x) \sum (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$n = 20, p = 0.1$ ならワルド型の被覆確率は約 $0.876$ 。95%のはずが9割に届かない

5: 名無しさん

＞＞4
$x = 0$ だと区間が $[0, 0]$ の1点になって、何も含まないのも効いてる

6: 名無しさん

正確な方法がクロッパー・ピアソン。片側2.5%の正確な二項検定で棄却されない $p$ を全部集める
下限は $B e (x, n - x + 1)$ の下側2.5%点、上限は $B e (x + 1, n - x)$ の上側2.5%点で書ける
$n = 20, x = 3$ なら $(0.032, 0.379)$

7: 名無しさん

＞＞6
それならいつもクロッパー・ピアソンを使えばええやん

8: 名無しさん

＞＞7
被覆確率がどの $p$ でも95%以上になるのは保証されるけど、離散やからたいてい95%を超えて、区間が広くなりすぎる
$n = 20$ で $p$ を0.01から0.99まで動かすと、平均の被覆確率は約 $0.98$

9: 名無しさん

＞＞8
間をとるのがウィルソンの区間。ワルドの $\overset{p}{^}$ のところを真の $p$ で置いた $∣ \overset{p}{^} - p ∣ \leq 1.96 p (1 - p) / n$ を $p$ について解く

\frac{p ^ + \frac{z ^{2}}{2 n} \pm z \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n} + \frac{z ^{2}}{4 n ^{2}}}{1 + z ^{2} / n}

$n = 20, x = 3$ なら $(0.052, 0.360)$ 。下限がマイナスにならない

10: 名無しさん

＞＞9
$n = 20$ での平均の被覆確率はワルドが約 $0.85$ 、ウィルソンが約 $0.95$ 。最小値は $0.95$ を下回る $p$ もあるけど、平均で見ればほぼ名目どおり

11: 名無しさん

＞＞10
「どの $p$ でも95%以上」を求めるならクロッパー・ピアソン、平均で95%に近いほうがいいならウィルソン。何を保証したいかで選ぶ

12: 名無しさん

被覆確率は $p$ ごとに二項の和で正確に計算できる、ワルドは小さい $n p$ で外れる、正確法は保守的。この3点で比べればいいんやな

管理人のひとこと

被覆確率は真の $p$ ごとに、区間が $p$ を含む $x$ の二項確率の和として正確に計算できる。
ワルド型 $\overset{p}{^} \pm 1.96 \overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^}) / n$ は $n p$ が小さいと外れる（ $n = 20$ 、 $p = 0.1$ で約0.876。 $x = 3$ で $(- 0.006, 0.306)$ ）。
クロッパー・ピアソンはベータ分布の分位点で書ける正確法（ $x = 3$ で $(0.032, 0.379)$ ）。どの $p$ でも95%以上だが保守的（平均約0.98）。
ウィルソンは $∣ \overset{p}{^} - p ∣ \leq z p (1 - p) / n$ を $p$ について解く（ $(0.052, 0.360)$ ）。平均の被覆確率は名目に近い。

【疑問】比率の95%信頼区間、本当に95%の確率で当たってるん？クロッパー・ピアソンとウィルソンって何【統計検定1級】

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