【疑問】1回目のテストで上位だった人が、2回目でだいたい下がるのはなんで？平均への回帰を式で【統計検定1級】

1回目の上位10人に特別指導をしたら、2回目は平均が下がった。指導が逆効果やったってこと？

前提のおさらいを2つ
2変量正規で $X_1,X_2$ がどちらも平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$、相関 $\rho$ なら $E[X_2\mid X_1=x]=\mu +\rho (x-\mu )$
単回帰の傾きは ${\hat{\beta }}_1=S_{xy}/S_{xx}$ で、標準化すると相関係数そのもの

＞＞1
指導がなくても下がる。条件付き期待値を標準化して書くと

1回目で平均から $z$ 離れた人は、2回目には平均して $\rho z$ しか離れない

＞＞3
数字で。平均60、標準偏差10、2回の相関0.7
1回目80点（$z=2$）の人の2回目の期待値は $60+0.7\times 20=74$。6点下がる
1回目40点の人は $60-0.7\times 20=46$ で、6点上がる

＞＞4
なんで下がるん。上位の人は実力があるんやろ

＞＞5
得点＝実力＋その日の運、と考えると分かる。上位に入った人は、実力が高い人と、その日に運がよかった人が混ざってる
2回目では運はまた平均に戻るから、運のぶんだけ下がる。相関が1より小さいのは、運の部分があるということ

＞＞3
それやと、何回もテストしたら全員が平均に集まってしまうやん

＞＞7
集まらない。2回目の標準偏差も10のまま。上位の人は下がるけど、1回目に中ほどだった人の中から、運よく上がる人が出てくる
回帰は「選んだ人たち」の平均の話で、全体のばらつきが縮むわけではない

＞＞8
逆向きにも起きる。2回目の上位の人を選んで1回目を見ると、やっぱり平均に近い。時間の向きは関係ない

＞＞1
だから、指導の効果を調べるなら、上位10人を2つに分けて片方だけ指導する。両方とも下がるはずで、その下がり方の差が指導の効果

＞＞10
血圧が高い人だけ集めて再測定すると、何もしなくても下がる、っていうのも同じ。対照群がないと効果と回帰を区別できない

$E[Z_2\mid Z_1=z]=\rho z$、選んだ人の平均だけが戻る、全体のばらつきは変わらない、効果を見るなら対照群。これで説明できるな