【疑問】共分散分析の調整済み平均って何？素の平均で負けてた群が、調整すると勝つことがあるん【統計検定1級】

2つの教え方を比べたら、事後テストはBのほうが5点高かった。でも事前テストもBのほうが高かった
これ、どう比べればいいん

前提のおさらいを2つ
一元配置分散分析：総平方和を群間と群内に分けて、群の平均の差を調べる
重回帰 $y=X\beta +\epsilon$ では、係数はほかの変数を一定にしたときの効果

＞＞1
事前テスト $x$ を共変量にして、群ごとに平行な回帰直線を当てはめる
$y_{ij}=\mu +{\tau }_i+\beta (x_{ij}-\bar{x})+{\epsilon }_{ij}$
群の効果 ${\tau }_i$ を、$x$ が全体平均のときの差として比べる

＞＞3
調整済み平均は、群の平均を共通の傾きで $x$ の全体平均まで動かしたもの

$b_w$ は群の中だけで計算した傾き（群内の回帰係数）

数字で。各群3人
A：$x=45,50,55$、$y=65,71,74$（平均 $50,70$）
B：$x=55,60,65$、$y=72,74,79$（平均 $60,75$）
群内の傾きは A $45/50=0.9$、B $35/50=0.7$、合わせて $b_w=(45+35)/(50+50)=0.8$

＞＞5
全体の $x$ の平均は55
A：$70-0.8\times (50-55)=74$
B：$75-0.8\times (60-55)=71$
素の平均ではBが5点上、事前テストをそろえるとAが3点上

＞＞6
でも傾きがAで0.9、Bで0.7って違うやん。平行って仮定してええの？

＞＞7
そこが前提。群と $x$ の交互作用項を入れて、傾きが等しいかを先に調べる
平行でないと、$x$ のどこで比べるかで差が変わるから、「調整済みの差」1つにまとめられない。この例は3人ずつで、0.9と0.7の差は誤差の範囲かどうかを検定して判断する

＞＞6
$x$ の範囲もずれてる。Aは45〜55、Bは55〜65で、重なってるのは55だけ

＞＞9
そう。調整は直線をのばした先の値に頼ってる。範囲が重ならないほど、直線の仮定への依存が強くなる
割り付けを無作為にしていれば $x$ の平均は近くなるから、調整は精度を上げる道具になる。観察データでは、調整しても測ってない違いは残る

共通の傾きを群内で出す、$x$ の全体平均まで動かす、平行と範囲の重なりを確かめる。この順に書けばええな