【疑問】ベイズ推定量って事後平均でええの？事後中央値やMAPとは何が違うん、損失関数で決まるってほんま？【統計検定1級】

事後分布 $Be(9,5)$ から点推定するとき、事後平均・事後中央値・MAPのどれを答えればいいん

前提のおさらい。$Be(2,2)$ の事前分布と10回中7回成功から、事後分布は $Be(9,5)$。事後平均は $9/14\approx 0.643$

＞＞1
どれも正しくて、何を損と考えるかで決まる。推定値 $a$ の損を $L(\theta ,a)$ として、事後分布での期待値を最小にする $a$ がベイズ推定量
2乗損失 $(\theta -a{)}^2$ → 事後平均、絶対損失 $|\theta -a|$ → 事後中央値、0-1損失（当たり以外は損1）の極限 → 事後最頻値（MAP）

＞＞3
2乗損失の証明は1行

第1項は $a$ によらないから、$a=E[\theta \mid x]$ で最小

＞＞3
絶対損失は、$a$ を少し右に動かすと、$\theta <a$ の側で損が増え、$\theta >a$ の側で減る
$\frac{d}{da}E[|\theta -a|\mid x]=P(\theta <a\mid x)-P(\theta >a\mid x)$ で、0になるのは両側が半々の点、つまり中央値

数字で。$Be(9,5)$ では
事後平均 $0.643$、事後中央値 約 $0.650$、MAP $\frac{9-1}{9+5-2}=\frac{8}{12}\approx 0.667$
分布が少し左に裾を引いてるから、平均 < 中央値 < 最頻値の順

＞＞6
ベイズ推定量って、結局事前分布で偏らせてるだけやろ。最尤の $x/n$ のほうがまっとうやん

＞＞7
偏りはある。でもMSEで比べると話が変わる。$n=10$ で事後平均 $\frac{x+2}{14}$ と $\frac{x}{10}$ を比べると
$p=0.5$：最尤0.025、事後平均約0.0128
$p=0.7$：最尤0.021、事後平均約0.0140
$p=0.9$：最尤0.009、事後平均約0.0177

＞＞8
$p$ が事前平均の0.5に近いあいだは事後平均が勝って、端に行くと負ける。どの $p$ でも勝つ推定量はない
事前分布の重み（期待損失の平均）で平均すると、ベイズ推定量が一番小さくなる。それがベイズ推定量の定義そのもの

＞＞3
MAPは事前分布が一様なら最尤推定と一致する。$Be(1,1)$ なら事後は $Be(8,4)$ で、最頻値は $7/10$

損失を決める、事後期待損失を最小にする、2乗なら平均・絶対なら中央値・0-1ならMAP。MSEは $p$ によって勝ち負けが入れかわる。これで書けるな