【疑問】ブートストラップって、手元のデータから何回も引き直すだけで標準誤差が出るってほんま？中央値でやってみたい【統計検定1級】

9個のデータの中央値の標準誤差と95%信頼区間を、ブートストラップで出せ、って問題
平均なら $s/\sqrt{n}$ やけど、中央値の式は知らん

前提のおさらいを2つ
モンテカルロ法：期待値を乱数の平均で近似し、誤差は $1/\sqrt{n}$ で減る
信頼区間は、ピボット量の分位点で挟んで作るのが基本

＞＞1
母集団の分布 $F$ が分かれば、そこから9個を何度も引いて中央値のばらつきを見ればいい
$F$ が分からないから、データの経験分布 $\hat{F}$（各点に確率 $1/9$）で代用する。$\hat{F}$ から引く＝手元のデータから復元抽出する

＞＞3
手順
(1) データから9個を復元抽出して中央値 $m^{\ast }$ を計算 (2) これを $B$ 回くり返す (3) $m^{\ast }$ の標準偏差を標準誤差とする

数字で。データ $2.8,3.1,3.9,4.1,4.5,5.0,5.2,6.0,7.4$、中央値4.5
$B=100000$ でやると、標準誤差は約0.57
$m^{\ast }$ の2.5%点と97.5%点をとると（パーセンタイル法）、区間は $(3.1,6.0)$

＞＞5
区間の端がデータの値そのものやな

＞＞6
9個の中央値は必ずデータのどれかになるから、$m^{\ast }$ も9通りの値しかとらない。分布がガタガタで、区間も粗い

＞＞3
結局、手元の9個を使い回してるだけやん。データを増やさずに情報が増えるわけないやろ

＞＞8
情報は増えてない。増えるのは計算の手間だけで、式で出せない標準誤差を $\hat{F}$ のもとで数値的に出してる
だから $\hat{F}$ が $F$ に近いこと、つまり $n$ がある程度あることが前提。9個は正直少ない

＞＞9
うまくいかない例もある。$U(0,\theta )$ の最大値をブートストラップすると、$m^{\ast }$ が元の最大値と一致する確率は $1-(1-1/n{)}^n$
$n=9$ で約0.654、$n\to \infty$ でも $1-1/e\approx 0.632$ に残る。本当の最大値の分布は連続やから、近づかない

＞＞4
$B$ を増やせば何でも正確になる？

＞＞11
$B$ で減るのはモンテカルロの誤差だけ。$\hat{F}$ と $F$ のずれは $n$ で決まって、$B$ を増やしても残る

$\hat{F}$ から復元抽出、統計量のばらつきを標準誤差に、分位点で区間、$n$ が小さいときと最大値のような統計量では信用しない。これでまとまったな