【疑問】一般化線形モデルって、分布とリンク関数を選ぶだけなん？ポアソン回帰と逸脱度の読み方【統計検定1級】

件数のデータにポアソン回帰を当てはめて、逸脱度でモデルを評価せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
ロジスティック回帰は、二項分布の平均 $p$ を $\log \frac{p}{1-p}$ で1次式につなぐ
尤度比検定：$-2\log \lambda$ は漸近的に ${\chi }^2$、自由度は母数の数の差

＞＞1
一般化線形モデル（GLM）は3つの部品でできてる
(1) 応答の分布：指数型分布族（正規、二項、ポアソン、ガンマなど） (2) 線形予測子 $\eta =x^{\top }\beta$ (3) リンク関数 $g(\mu )=\eta$

＞＞3
正規分布と恒等リンクなら普通の線形回帰、二項とロジットならロジスティック回帰。全部同じ枠組みで、最尤推定は重みを変えながらの最小二乗のくり返しで解ける

数字で。$x=0,1,2,3$ で件数 $y=2,3,6,10$
${\hat{\beta }}_0\approx 0.634$、${\hat{\beta }}_1\approx 0.558$（標準誤差0.221）。$x$ が1増えると平均件数が $e^{0.558}\approx 1.75$ 倍
当てはめ値は $1.88,3.29,5.76,10.06$

＞＞5
逸脱度は、データにぴったり合わせたモデル（飽和モデル）との対数尤度の差の2倍

このモデルで $D\approx 0.044$（自由度2）、$x$ を入れない定数だけのモデルで $7.27$（自由度3）

＞＞6
2つの差 $7.27-0.044\approx 7.23$ は、$x$ を入れるかどうかの尤度比検定。自由度1の ${\chi }^2$ でP値約0.007

＞＞6
$D$ が自由度より大きければ当てはまりが悪い、でええの？

＞＞8
件数が十分大きいなら、$D$ は自由度 $n-p$ の ${\chi }^2$ で近似できて、その目安で読める。件数が小さいと近似が悪い
ポアソンは平均＝分散が前提。$D$ が自由度よりずっと大きいなら、分散が平均より大きい（過分散）ことを疑う

＞＞9
過分散なら、ポアソンを捨てて負の二項分布にすればええやん

＞＞10
それも1つの手。もう1つは、平均のモデルはそのままで分散を $\varphi \mu$ と膨らませる（準ポアソン）。係数の推定値は同じで、標準誤差が $\sqrt{\hat{\varphi }}$ 倍になる
どっちを選ぶかは、過分散の原因（個体差か、集まって起きるか）の見立てで決める

分布・線形予測子・リンクの3部品、ポアソン回帰は対数リンクで係数は倍率、逸脱度の差が尤度比検定、過分散は分散のモデルで直す。これで説明できるな