【疑問】AX の分散共分散行列が AΣAᵀ になるのはなんで？成分ごとに計算するのと何が違うん【統計検定1級】

$X=(X_1,X_2{)}^{\top }$ の平均ベクトルと分散共分散行列から、和と差 $(X_1+X_2,X_1-X_2)$ の平均と分散共分散行列を求めよ、って問題

前提のおさらいを2つ
2変量正規は平均ベクトル $\mu$ と分散共分散行列 $\Sigma$（対角に分散、非対角に共分散）で決まる
行列 $\Sigma$ が正定値とは、0でないどんな $a$ でも $a^{\top }\Sigma a>0$ になること

＞＞1
期待値は線形やから $E[AX+b]=A\mu +b$。分散は
$(AX-A\mu )(AX-A\mu {)}^{\top }=A(X-\mu )(X-\mu {)}^{\top }{A}^{\top }$ の期待値をとって

数字で。$\mu =(1,2{)}^{\top }$、$\Sigma =\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$、$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$
平均は $A\mu =(3,-1{)}^{\top }$
$A\Sigma A^{\top }=\left(\begin{array}{cc}11& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$

＞＞4
成分ごとに確かめると
$V[X_1+X_2]=4+3+2\times 2=11$、$V[X_1-X_2]=4+3-2\times 2=3$
$\mathrm{Cov}(X_1+X_2,X_1-X_2)=V[X_1]-V[X_2]=1$。合ってる

＞＞5
成分ごとに出せるなら、行列で書く意味ないやん

＞＞6
2変数ならそれでもいける。でも変数が $p$ 個で新しい変数が $m$ 個なら、共分散だけで $m(m-1)/2$ 個ある。$A\Sigma A^{\top }$ なら1回の式で全部出る
それに $a^{\top }\Sigma a=V[a^{\top }X]\ge 0$ やから、分散共分散行列がいつも非負定値になる理由もこの式から分かる

＞＞2
$X$ が2変量正規なら、$AX$ の分布も言えるん？

＞＞8
正規の線形変換は正規やから、$AX\sim N((3,-1{)}^{\top },\left(\begin{array}{cc}11& 1\\ 1& 3\end{array}\right))$
共分散が1で0でないから、和と差は独立ではない。$V[X_1]=V[X_2]$ のときだけ和と差は無相関になる

相関行列も同じ形で出る。$D$ を分散を並べた対角行列にすると $R=D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$
この例の相関は $2/\sqrt{4\times 3}\approx 0.577$

標本平均ベクトルにも使える。独立に $n$ 個とった $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$ は $V[\bar{X}]=\Sigma /n$。1変数の ${\sigma }^2/n$ がそのまま行列になる

$E[AX+b]=A\mu +b$、$V[AX+b]=A\Sigma A^{\top }$、$a^{\top }\Sigma a\ge 0$ で非負定値、正規なら正規のまま。これで使いこなせるな