【疑問】ベイズの定理、計算はできるのに「論述で書け」って言われたら手が止まる【統計検定1級】

15レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

ベイズの定理の計算はできる
でも「答案として書け」と言われると、どこから書けばいいのか分からん

2: 名無しさん

前提のおさらい。 $P (B) > 0$ のとき条件付き確率は

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

かけ算の形にしたのが乗法定理 $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$

3: 名無しさん

＞＞1
例題でやる
3つの工場 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ が製品の50%・30%・20%を作っていて、不良率はそれぞれ1%・2%・5%
製品を1個とったら不良品だった。工場 $B_{3}$ で作られた確率を求めよ

4: 名無しさん

＞＞3
1段目は事象の定義と分割の確認
$B_{i}$ を「工場 $i$ 製である」、 $D$ を「不良品である」事象とする
$B_{1}, B_{2}, B_{3}$ は互いに排反で、和は全体。 $P (B_{i}) > 0$ 。つまり標本空間の分割になってる

5: 名無しさん

＞＞4
分割のところ、要る？どう見ても自明やん

6: 名無しさん

＞＞5
全確率の公式が使えるのは分割になってるときだけやから、要る
たとえば2つの工場が共同で作る製品があったら、 $B_{1}$ と $B_{2}$ が重なって、全確率の公式で重なりのぶんを2回数えてしまう
自明かどうかより、どの条件を使ったかを書くのが論述

7: 名無しさん

2段目は全確率の公式

P (D) = i = 1 \sum 3 P (D ∣ B_{i}) P (B_{i}) = 0.01 \times 0.5 + 0.02 \times 0.3 + 0.05 \times 0.2

= 0.005 + 0.006 + 0.010 = 0.021

8: 名無しさん

3段目でベイズの定理

P (B_{3} ∣ D) = \frac{P ( D ∣ B _{3} ) P ( B _{3} )}{P ( D )} = \frac{0.010}{0.021} = \frac{10}{21} \approx 0.476

結論：不良品が工場3製である確率は $10/21 \approx 0.476$

9: 名無しさん

＞＞8
ほかの工場の分も出したら合計1になる？

10: 名無しさん

＞＞9
$P (B_{1} ∣ D) = 0.005/0.021 = 5/21 \approx 0.238$ 、 $P (B_{2} ∣ D) = 0.006/0.021 = 6/21 \approx 0.286$
$5/21 + 6/21 + 10/21 = 1$ で、検算になる

11: 名無しさん

＞＞8
生産では2割しかない工場3が、不良品の中では約48%になる
不良率が高いことが、事前の2割を引き上げてる

12: 名無しさん

2個続けて不良品やったら、工場3の確率はどうなるん

13: 名無しさん

＞＞12
同じ工場のロットから2個とって、工場を決めたもとで2個の良否が独立（条件付き独立）と仮定すると

P (B_{i} ∣ D_{1} \cap D_{2}) \propto P (B_{i}) P (D ∣ B_{i})^{2}

$0.5 \times 0.0001 = 0.00005$ 、 $0.3 \times 0.0004 = 0.00012$ 、 $0.2 \times 0.0025 = 0.0005$ で、合計 $0.00067$

P (B_{3} ∣ D_{1} \cap D_{2}) = \frac{0.0005}{0.00067} \approx 0.746

14: 名無しさん

＞＞13
その条件付き独立の仮定も、答案では明記せんとあかんやつやな
仮定を書かずに2乗したら、どこから2乗が出てきたのか読む側に分からん

15: 名無しさん

型をまとめると、事象の定義 → 分割の確認 → 全確率の公式 → ベイズの定理 → 数値 → 結論の1文
途中で使った仮定（分割、 $P (B_{i}) > 0$ 、条件付き独立）は、使った場所で書く

管理人のひとこと

条件付き確率 $P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)$ （ $P (B) > 0$ ）。答案は「事象の定義 → 分割の確認 → 全確率の公式 → ベイズの定理 → 数値 → 結論」の順に書く。
例：生産割合0.5・0.3・0.2、不良率0.01・0.02・0.05なら $P (D) = 0.021$ 、 $P (B_{3} ∣ D) = 10/21 \approx 0.476$ 。3つの事後確率の和が1になることで検算できる。
2個続けて不良なら、条件付き独立の仮定のもとで $P (B_{3} ∣ D_{1} \cap D_{2}) = 0.0005/0.00067 \approx 0.746$ 。
全確率の公式は分割のときだけ使える。使った仮定は使った場所で明記する。