【疑問】20個中5個が不良品、4個抜き取って全部良品の確率って二項分布でええの？【統計検定2級】

20個のうち5個が不良品の箱から、4個抜き取る。全部良品の確率を出したい
不良品の割合は $5/20=0.25$ やから、$0.75^4\approx 0.316$ でええやろ

＞＞1
それは1個取るたびに箱に戻す（復元抽出）ときの答え
抜き取り検査みたいに戻さない（非復元抽出）なら、取るたびに箱の中身が変わるから、毎回0.25とはならない

＞＞2
じゃあどう計算するん

＞＞3
組合せで数える。20個から4個の選び方のうち、良品15個から4個を選ぶ場合の割合

二項分布の0.316より小さい

＞＞4
一般の形は？

＞＞5
全部で $N$ 個、そのうち当たり（ここでは不良品）が $K$ 個、$n$ 個取り出したときの当たりの数 $X$ は

これが超幾何分布。＞＞4は $N=20$、$K=5$、$n=4$、$k=0$

平均と分散は？

＞＞7
平均は二項分布と同じで $n\times K/N=4\times 0.25=1$
分散は二項分布の $np(1-p)$ に補正がつく

二項分布なら0.75やから、ばらつきは小さい

＞＞8
なんで戻さんほうがばらつきが小さいんや

＞＞9
1個目が不良品なら箱の中の不良品が減って、2個目は不良品が出にくくなる
1回ごとの結果が独立やなくて、負の共分散がある。和の分散は共分散の分だけ小さくなる
極端な話、20個全部取り出したら不良品は必ず5個で、ばらつきは0。$(N-n)/(N-1)=0$ になる

＞＞10
でも、実際の検査は何千個のロットから数個取るんやから、二項分布で十分やろ

＞＞11
箱が大きければそう。1000個中250個が不良品のロットから4個取って全部良品の確率は約0.3158で、二項分布の0.3164とほぼ同じ
取り出す数が全体の数%くらいまでなら、二項分布で近似してええと言われることが多い。＞＞1みたいに20個中4個（2割）やと差が出る

身近な例ある？

＞＞13
カードゲームで40枚の山札に同じカードが3枚、最初に5枚引いて1枚以上来る確率

二項分布（$1-(37/40{)}^5$）で計算すると約0.323で、少し小さく出る

＞＞14
引くたびに残りの山札に占める割合が上がるから、戻さんほうが少し来やすいわけか

＞＞15
「1枚も来ない」側で見るとそう。外れを引くたびに、残りの山札で当たりの割合が上がっていく

戻さずに取り出すなら超幾何分布。平均は二項分布と同じで、分散は $(N-n)/(N-1)$ 倍に小さくなる。全体が大きければ二項分布で近似できる。0.316で出したら間違いやったわ