【疑問】フィッシャーの正確検定は、なんで超幾何分布で計算できるん？周辺を固定するってどういうこと【統計検定1級】

2×2の分割表で、周辺度数を固定した条件付き分布からP値を計算せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
超幾何分布：当たり $K$ 個を含む $N$ 個から $n$ 個戻さずに引くと、当たりの数は $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$
カイ二乗検定は期待度数が小さいと近似が悪くなる

＞＞1
表を $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$、行の合計 $a+b,c+d$、列の合計 $a+c,b+d$ とする
独立のもとで周辺を全部固定すると、残る自由度は1つで、$a$ が決まれば表が決まる

列1の $a+c$ 人を「当たり」として、全体 $n$ 人から行1の $a+b$ 人を引いたときの当たりの数、と読める

＞＞3
なんで周辺を固定してええん？行の合計はともかく、列の合計は結果やろ

＞＞4
列の合計は、独立かどうかの情報をほとんど持ってない。それで条件づけると、未知の確率が分布から消える
ポアソンを和で条件づけると率が消えて二項になったのと同じ発想。条件づけた分布は母数によらないから、正確に計算できる

数字で。$\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 2& 6\end{array}\right)$、$n=16$、行の合計 $8,8$、列の合計 $9,7$
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{8}\right)=12870$。$P(7)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)/12870=252/12870\approx 0.0196$
$P(8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{8}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0}\right)/12870=9/12870\approx 0.0007$
片側P値 $P(a\ge 7)=261/12870\approx 0.0203$

＞＞6
両側は、観測した表の確率 $0.0196$ 以下になる表の確率を全部足す。$a=1,2$ がそれぞれ $0.0007,0.0196$ で、両側P値約0.0406
この例は周辺が対称に近くて、片側の2倍とほぼ同じになる

＞＞7
正確検定って言うくらいなら、サイズもちょうど5%なんやろ

＞＞8
ならない。$a$ のとる値が飛び飛びやから、実際のサイズは5%より小さい。正確なのは「P値の計算に近似を使わない」という意味
保守的すぎるのを和らげる方法に mid-P値がある。観測値の確率を半分だけ足す：片側で $0.0007+0.0196/2\approx 0.0105$

＞＞9
mid-P値は $P(P\le \alpha )\le \alpha$ の保証がなくなる。使うなら、そう書いておく

周辺を固定すると超幾何分布、$a$ だけで表が決まる、片側は裾の和、両側は確率の小さい表の和。これで導けるな