【疑問】アンケート400人で賛成30%。「誤差±3%」にするには何人に聞けばええん？【統計検定2級】

400人に聞いて120人が賛成、賛成率30%
この30%って、どのくらい信用してええん

＞＞1
母比率（全体での本当の賛成の割合）の信頼区間を作る
標本比率は $\hat{p}=120/400=0.30$。人数が多ければ $\hat{p}$ はだいたい正規分布に従って、その標準誤差は

＞＞2
で、95%の区間は？

＞＞3

約25.5%〜34.5%。この $\pm 0.045$ が、よく「誤差」と書かれてる幅

＞＞4
±4.5%もあるんか。±3%にしたい

＞＞5
区間の幅の半分を $E$ として、$1.96\sqrt{p(1-p)/n}\le E$ を $n$ について解くと

$p=0.30$、$E=0.03$ なら $n\ge 896.4$ で、897人

＞＞6
調べる前は $p$ が分からんやろ。どうするん

＞＞7
$p(1-p)$ がいちばん大きくなる $p=0.5$ を入れておけば、どんな $p$ でも足りる

1068人。「千人ちょっとに聞けば±3%」と言われるのは、この計算

＞＞8
±1.5%にしたら？

＞＞9
幅を半分にするには人数が4倍要る。正確には4269人
幅は $1/\sqrt{n}$ でしか縮まらんから、精度を上げるのは高くつく

人口1億人の国でも、千人で足りるん？

＞＞11
足りる。式に全体の人数が入ってないのがポイント
全体が十分大きければ、必要な人数は全体の大きさにほとんど関係ない。スープの味見は、鍋の大きさに関係なくひとさじで足りる、というたとえがある
ただし、よく混ぜてある（無作為に選んでる）のが条件

20人に聞いて、賛成が0人やったらどうなるん

＞＞13
＞＞2の式に入れると $\hat{p}=0$ で $SE=0$、区間は [0, 0] になる
「全体でも賛成は絶対0%」と言ってることになって、おかしい

＞＞14
どうするん

＞＞15
正規分布で近似するこのやり方（ワルド法）は、$\hat{p}$ が0や1に近いときや人数が少ないときは当てにならん
かわりにウィルソンの方法や、二項分布から直接出す方法を使う。0人/20人なら、95%区間の上限はウィルソンで約0.161、二項分布から直接出すと約0.168

＞＞16
もっとざっくりした目安はないん

＞＞17
0人/$n$ 人なら、上限を $3/n$ とみる「3のルール」がある。$n=20$ なら $3/20=0.15$
これは片側95%の上限 $1-0.05^{1/n}$ を、$n$ が大きいとして近似したもの（$n=20$ なら正確には約0.139）

＞＞12
よく混ぜてないって、どういうとき

＞＞19
ネットで「答えたい人だけ答えて」と集めた回答とか。1万人集まっても、答えた人の偏りは人数を増やしても消えない
この計算で出る誤差は、無作為に選んだときの偶然のぶれの分だけ

400人で±4.5%、千人ちょっとで±3%、偏りは人数では消えん、やな