【疑問】パレート分布って「上位2割が8割を持つ」ってやつ？平均が無限大になるってほんま？【統計検定準1級】

パレート分布って「上位2割の人が全体の8割を持ってる」みたいな話のやつやろ
しかもパラメータによっては平均が無限大になるって聞いた。ほんまか

＞＞1
まず形から。最小値を $x_m$、形のパラメータを $\alpha$ として、$x$ を超える確率が

$x_m=300$、$\alpha =2$ なら、1200を超える確率は $(300/1200{)}^2=1/16\approx 0.063$

＞＞2
平均は？

＞＞3
$\alpha >1$ のとき

$x_m=300$ で、$\alpha =3$ なら450、$\alpha =2$ なら600、$\alpha =1.5$ なら900
$\alpha \le 1$ やと積分が発散して、平均は無限大

＞＞4
分散は？

＞＞5
$\alpha >2$ のときだけ有限。$\alpha =2$ だと平均は600で有限なのに、分散は無限大

＞＞6
分散が無限大でも平均が有限なら、データの平均をとれば問題ないやろ

＞＞7
大数の法則で最後には近づくけど、ものすごく遅い。$\alpha =1.5$、$x_m=300$（本当の平均900）で、1000個の平均を何度もとるシミュレーションをすると
真ん中あたりは約860で本当の値より小さく、上下5%を除いた範囲でも約760〜約1090とばらつく
たまに来る巨大な値に平均が振り回される。分散が無限大やから、中心極限定理の $\sigma /\sqrt{n}$ の感覚も使えん

で、「2割が8割」はどこから出てくるん

＞＞9
パレート分布では、上位の割合 $p$ の人が持つ合計の割合が $p^{1-1/\alpha }$ になる
上位20%が80%を持つのは $0.2^{1-1/\alpha }=0.8$ を解いて $\alpha =\log 5/\log 4\approx 1.16$ のとき
$\alpha =2$ なら上位20%の割合は $0.2^{0.5}\approx 0.45$ で、45%

＞＞10
じゃあ「2割が8割」はいつでも成り立つ法則ってわけやないんか

＞＞11
そう。$\alpha$ がちょうど約1.16のときの数字で、$\alpha$ が違えば割合も変わる。目安として言われてるだけ

パレート分布ならではの性質ってある？

＞＞13
どの大きさから見ても、上の裾の形が同じ（スケールフリー）

$\alpha =2$ なら、500を超えた人がさらに倍の1000を超える割合も、5000を超えた人が10000を超える割合も、同じ $1/4$

＞＞14
データがパレート分布かどうかはどう見分けるん

＞＞15
$P(X>x)$ を、横軸も縦軸も対数にしたグラフに描く。パレート分布なら傾き $-\alpha$ の直線になる
$\log P(X>x)=\alpha \log x_m-\alpha \log x$ やから

＞＞16
対数正規分布も裾が長いやろ。区別つくん

＞＞17
両対数グラフで、対数正規分布は右へ行くほど下に曲がっていく。パレート分布はまっすぐ
ただ実際のデータは上のほうの点が少ないから、見分けにくいことも多い。所得なら「真ん中は対数正規、ごく上はパレート」に近いと言われることがよくある

$\alpha$ はどう推定するん

＞＞19
$x_m$ が分かっていれば、最尤推定は式で出る

データ平均から $\alpha x_m/(\alpha -1)$ を逆算する方法は、＞＞8みたいに平均がぶれるからおすすめできん

$P(X>x)=(x_m/x{)}^{\alpha }$、平均は $\alpha >1$、分散は $\alpha >2$ でやっと有限。「2割が8割」は $\alpha \approx 1.16$ のときだけ。両対数で直線。平均はあてにならんから $\alpha$ は最尤で。ほんまに無限大になるんやな