【悲報】精度99%の検査で陽性、本当に病気の確率は半分しかなかった【統計検定1級】

21レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

感度も特異度も99%の検査で陽性が出たら、99%病気やと思うやん
例題で計算したら50%になった。意味わからん

2: 名無しさん

前提のおさらいから
条件付き確率は

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

「 $B$ が起きたと分かったうえでの $A$ の確率」

3: 名無しさん

感度と特異度ってどっちがどっちやったっけ

4: 名無しさん

＞＞3
病気であることを $D$ 、陽性を $+$ 、陰性を $-$ とすると
感度は $P (+ ∣ D)$ 、病気の人を陽性と判定できる確率
特異度は $P (- ∣ D^{c})$ 、病気でない人を陰性と判定できる確率
知りたいのは $P (D ∣ +)$ で、条件の向きが逆

5: 名無しさん

向きをひっくり返すのがベイズの定理

P (D ∣ +) = \frac{P ( + ∣ D ) P ( D )}{P ( + ∣ D ) P ( D ) + P ( + ∣ D ^{c} ) P ( D ^{c} )}

分母は全確率の公式で $P (+)$ を分けたもの

6: 名無しさん

で、なんで50%になるんや

7: 名無しさん

＞＞6
有病率が1%の設定やったんやろ

P (D) = 0.01, P (+ ∣ D) = 0.99, P (+ ∣ D^{c}) = 0.01

を入れると

P (D ∣ +) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01 + 0.01 \times 0.99} = \frac{0.0099}{0.0198} = 0.5

8: 名無しさん

1万人で数えたほうが早いで
病気の人100人のうち、陽性は99人
病気でない9900人のうち、偽陽性は99人
陽性198人のうち本当に病気なのは99人で、ちょうど半分

9: 名無しさん

＞＞8
人数で数えるのは分かりやすいけど、確率のまま式を立てられんと応用で詰む
連続分布が出てきたら人数では数えられんからな

10: 名無しさん

＞＞9
それは式で立てて、人数は検算に使えばええだけやろ
どっちか片方に絞る理由はない

11: 名無しさん

有病率がもっと低かったらどうなるん

12: 名無しさん

＞＞11
0.1%にすると

P (D ∣ +) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001 + 0.01 \times 0.999} = \frac{0.00099}{0.01098} \approx 0.090

約9%。陽性のほとんどが偽陽性
検査の性能より、もともとの割合（事前確率）のほうが効いてくる

13: 名無しさん

じゃあこの検査、役に立たんのか

14: 名無しさん

＞＞13
そうでもない。オッズで見ると分かりやすい

\frac{P ( D ∣ + )}{P ( D ^{c} ∣ + )} = \frac{P ( + ∣ D )}{P ( + ∣ D ^{c} )} \times \frac{P ( D )}{P ( D ^{c} )}

事後オッズ＝尤度比×事前オッズ
尤度比は $0.99/0.01 = 99$ やから、陽性1回でオッズが99倍になる

15: 名無しさん

＞＞14
もう一回検査して、また陽性やったら？

16: 名無しさん

＞＞15
病気かどうかを固定したもとで2回の結果が独立（条件付き独立）と仮定するなら、オッズはさらに99倍
有病率0.1%から始めると

\frac{1}{999} \times 99 \times 99 = \frac{9801}{999} \approx 9.81

確率に直すと

\frac{9801}{999 + 9801} = \frac{9801}{10800} = 0.9075

17: 名無しさん

＞＞16
その仮定、現実だと怪しくないか
偽陽性が出やすい体質の人なら、同じ検査をもう一回やってもまた陽性になりそう

18: 名無しさん

＞＞17
それはそう。だから問題文の「条件付き独立」は読み飛ばしたらあかん
仮定が崩れたら、2回目でオッズが99倍になるとは言えん

19: 名無しさん

結局、 $P (A ∣ B)$ と $P (B ∣ A)$ を混同するのが全部の元凶やな

20: 名無しさん

＞＞19
ついでに、独立の定義も条件付き確率で書ける

P (A ∣ B) = P (A)

$B$ が分かっても $A$ の確率が変わらんこと
ただ $P (B) = 0$ でも使える $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ のほうを定義にすることが多い

21: 名無しさん

事前確率・尤度・事後確率の名前と、この検査の例をセットで覚えとくわ

管理人のひとこと

条件付き確率は $P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)$ 。 $P (A ∣ B)$ と $P (B ∣ A)$ は別物。
ベイズの定理は、分母を全確率の公式で分けて条件の向きをひっくり返す道具。
感度・特異度99%でも、有病率1%なら陽性のうち本当に病気なのは50%、0.1%なら約9%。事前確率が強く効く。
オッズで書くと「事後オッズ＝尤度比×事前オッズ」。検査を重ねるときは条件付き独立の仮定を確認する。

【悲報】精度99%の検査で陽性、本当に病気の確率は半分しかなかった【統計検定1級】

管理人のひとこと

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