【疑問】線形対比って何？直交対比にすると平方和がきれいに分かれるのはなんで【統計検定1級】

3群の一元配置で、「群1と群2の差」と「群1・2の平均と群3の差」を対比として推定・検定せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
推定量の線形結合の分散は $V[c^{\top }\hat{\beta }]={\sigma }^2{c}^{\top }(X^{\top }X{)}^{-1}c$
一元配置では群間平方和と群内平方和に分かれ、群内の平均平方 $M{S}_E$ が ${\sigma }^2$ の推定量

＞＞1
対比は $\sum c_i=0$ の係数で作る平均の組み合わせ $L=\sum c_i{\mu }_i$。各群の平均は独立で分散 ${\sigma }^2/n_i$ やから

${\sigma }^2$ を $M{S}_E$ にして、t 検定ができる

数字で。各群 $n=5$、平均 $10,12,15$、$M{S}_E=4$（自由度12）
$c_1=(1,-1,0)$：$\hat{L}=-2$、標準誤差 $\sqrt{4\times 2/5}\approx 1.26$、$t\approx -1.58$、$p\approx 0.14$
$c_2=(1,1,-2)$：$\hat{L}=-8$、標準誤差 $\sqrt{4\times 6/5}\approx 2.19$、$t\approx -3.65$、$p\approx 0.003$

＞＞4
群1と群2の差ははっきりせんけど、群3が他の2つより高いのははっきりしてる

$c_1$ と $c_2$ は $\sum c_{1i}{c}_{2i}/n_i=(1-1+0)/5=0$ で直交してる。対比の平方和は $S{S}_c={\hat{L}}^2/\sum (c_i^2/n_i)$ で
$S{S}_{c_1}=4/0.4=10$、$S{S}_{c_2}=64/1.2\approx 53.3$
群間平方和は $5\{(10-12.33{)}^2+(12-12.33{)}^2+(15-12.33{)}^2\}\approx 63.3$ で、ちょうど $10+53.3$

＞＞6
直交やないとあかんの？

＞＞7
あかんことはない。知りたい比較が直交してなくても対比として使える。ただ平方和が足し算で分かれなくなるだけ
群の数 $a$ なら、直交対比は $a-1$ 個まで。群間の自由度と同じ数

＞＞4
データを見てから「群3と他を比べたら差が出そう」って対比を選んだらどうなるん

＞＞9
ふつうの t の臨界値 2.18 では甘すぎる。どんな対比でも有効なのはシェッフェの方法で、臨界値は $\sqrt{(a-1)F_{0.05}(a-1,12)}=\sqrt{2\times 3.89}\approx 2.79$
$c_2$ は $|t|=3.65$ で、シェッフェでも有意。$c_1$ はどっちでも有意でない

＞＞10
それなら最初から全部シェッフェでええやん。安全やし

＞＞11
安全なぶん検出力が低い。データを見る前に決めた少数の対比なら、t（数が多ければボンフェローニ）のほうが効率がいい
対照群と比べるだけならダネット、全部の対を比べるならテューキー。目的で選ぶ

$\sum c_i=0$ で $\hat{L}=\sum c_i{\bar{y}}_i$、分散 ${\sigma }^2\sum c_i^2/n_i$、直交なら平方和が群間平方和に分かれる、後から選んだ対比はシェッフェ。これで使えるな