【疑問】パッケージAとBで買った割合が違う、って分割表のカイ二乗検定で言えるん？【統計検定2級】

19レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

パッケージAとBで100人ずつに見せたら、Aは30人、Bは45人が買った
Bのほうが売れるって言ってええんか。偶然の差ちゃうかって言われた

2: 名無しさん

＞＞1
こういう「行と列で分けて人数を数えた表」（分割表）で、2つの分け方に関係があるかを調べるのがカイ二乗検定（独立性の検定）
帰無仮説は「パッケージと買うかどうかは独立（関係ない）」

3: 名無しさん

＞＞2
どう計算するん

4: 名無しさん

＞＞3
まず、独立やったら各マスに何人入るはずか（期待度数）を出す
全体で買ったのは200人中75人やから、独立ならAもBも100人中37.5人が買って、62.5人が買わないはず
期待度数は「行の合計 × 列の合計 ÷ 全体」でも出せる。Aの買ったマスなら $100 \times 75/200 = 37.5$

5: 名無しさん

＞＞4
で、実際の人数とのずれを見るんか

6: 名無しさん

＞＞5
そう。観測度数 $O$ と期待度数 $E$ のずれを2乗して $E$ で割って、全部のマスで足す

χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E}

4マスとも $∣ O - E ∣ = 7.5$ やから

χ^{2} = 7. 5^{2} (\frac{1}{37.5} + \frac{1}{62.5} + \frac{1}{37.5} + \frac{1}{62.5}) = 4.8

7: 名無しさん

＞＞6
自由度は？

8: 名無しさん

＞＞7
2行2列やから $(2 - 1) (2 - 1) = 1$ 。行と列の合計が決まっていれば、1マス決めたら残りは決まる
自由度1のカイ二乗分布の上側5%点は3.84。4.8はそれを超えるから、5%水準で「関係がある」と言える。p値は約0.028

9: 名無しさん

＞＞8
それ、2つの割合の差の検定（0.30と0.45の差）と何が違うん

10: 名無しさん

＞＞9
2行2列なら同じ結論になる。割合の差の $z$ を計算すると

z = \frac{0.45 - 0.30}{0.375 \times 0.625 \times ( \frac{1}{100} + \frac{1}{100} )} \approx 2.19

$z^{2} \approx 4.8$ で、カイ二乗の値とぴったり一致する

11: 名無しさん

＞＞10
じゃあ分割表の検定なんか要らんやん。割合の差で全部できる

12: 名無しさん

＞＞11
2行2列ならな。2行3列みたいに列が3つ以上あると、割合の差1つでは表せん
たとえばA・Bの2つのパッケージで「買った・迷った・買わない」の3択を数えたら、自由度 $(2 - 1) (3 - 1) = 2$ のカイ二乗分布で、まとめて1回で検定できる

13: 名無しさん

カイ二乗の値が大きいほど、関係が強いってこと？

14: 名無しさん

＞＞13
そうとは限らん。人数を10倍にして、割合を同じにすると
Aが1000人中300人、Bが1000人中450人なら $χ^{2} = 48$ で10倍になる。割合の違いはまったく同じなのに
カイ二乗の値は人数に比例して大きくなる。関係の強さを見たいなら、人数で割ったクラメールの連関係数 $V = χ^{2} / n$ （2行2列の場合）を使う。どっちの例も $4.8/200 \approx 0.155$ で同じ

15: 名無しさん

人数が少ないときは？

16: 名無しさん

＞＞15
カイ二乗分布で近似してるから、期待度数が小さいマスがあると近似が悪くなる。期待度数が5未満のマスがあるときは注意、という目安がよく使われる
2行2列では、ずれを0.5小さくするイェーツの補正をかけることもある。この例やと $χ^{2} \approx 4.18$ 、p値は約0.041

17: 名無しさん

＞＞16
補正したら値が変わるんか。どっちを使えばええねん

18: 名無しさん

＞＞17
補正ありは厳しめ（有意になりにくい）に出る。人数が十分なら差は小さい
大事なのは、どっちを使ったかを書いておくこと。境目ぎりぎりのときは、人数が少ない場合の正確な検定（フィッシャーの正確検定）を使うこともある

19: 名無しさん

期待度数は行の合計×列の合計÷全体、ずれの2乗÷期待度数を足す、自由度は $(r - 1) (c - 1)$ 。2行2列は割合の差の検定と同じ。カイ二乗の大きさは人数で膨らむから、強さは別に見る。これで説明できるわ

管理人のひとこと

分割表のカイ二乗検定（独立性の検定）は、期待度数 $E$ ＝行の合計×列の合計÷全体と観測度数 $O$ から $χ^{2} = \sum (O - E)^{2} / E$ を計算する。例（Aが100人中30人、Bが100人中45人）では $χ^{2} = 4.8$ 、自由度1、p値約0.028。
2行2列では割合の差の $z$ 検定と同じ（ $z \approx 2.19$ 、 $z^{2} = 4.8$ ）。3列以上でもまとめて1回で検定できる（2行3列は自由度2）。
カイ二乗の値は人数に比例して大きくなる（10倍で48）。関係の強さはクラメールの連関係数 $V = χ^{2} / n$ などで見る（どちらも約0.155）。
期待度数が5未満のマスがあると近似が悪い。イェーツの補正では $χ^{2} \approx 4.18$ （p値約0.041）。どちらを使ったか書く。

【疑問】パッケージAとBで買った割合が違う、って分割表のカイ二乗検定で言えるん？【統計検定2級】

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