【疑問】23人いたら、誕生日が同じペアがいる確率は5割超えってほんま？「少なくとも1組」は余事象で出す【統計検定2級】

クラスに23人いたら、誕生日が同じペアがいる確率は50%を超えるって聞いた
365日もあるのに23人で半分？さすがに盛ってるやろ

＞＞1
盛ってない。うるう年は除いて、どの日も同じ確率で生まれるとすると、約0.507
「少なくとも1組が同じ」をそのまま数えると大変やから、逆の「全員ちがう」を数えて1から引く

＞＞2
全員ちがう確率ってどう出すん

＞＞3
1人目は何日でもいい。2人目は1人目と違う日で $364/365$、3人目は2人と違う日で $363/365$、…と続ける

だから $P(\text{少なくとも1組同じ})=1-0.493\approx 0.507$

＞＞4
これが余事象ってやつか。でも直感とずれすぎてる

＞＞5
ずれる理由は、比べてるのが「自分と同じ人」じゃなくて「誰かと誰か」やから
23人のペアの数は ${}_{23}{C}_2=253$ 組。253組それぞれに、$1/365$ の当たりくじがあるようなもん

＞＞6
自分と同じ誕生日の人がいる確率なら？

＞＞7
他の22人が全員自分と違う確率を引いて

6%くらい。50%を超えるには、自分以外に253人いる

＞＞8
ペアの数の253と、ここの253が同じなのはたまたま？

＞＞9
たまたまやけど、ペアの数で考えるのがよい近似になってる理由とつながる
「全員ちがう」をペアごとの独立な確率のかけ算で近似すると

＞＞10
人数を増やすとどうなるん

＞＞11
30人で約0.706、40人で約0.891、50人で約0.970、57人で約0.990
70人なら約0.9992で、ほぼ確実

＞＞12
いや、現実の誕生日って月によって偏りがあるやん。365日同じ確率っていう仮定のほうが怪しい

＞＞13
偏りがあると、同じ日に集まりやすくなるから、確率はむしろ上がる
日ごとの確率が全部同じときが、ペアができる確率のいちばん低い場合やと知られてる。だから0.507は控えめな数字

「少なくとも1回」は他でも出てくるよな

＞＞15
サイコロを4回振って1回でも6が出る確率は

サイコロ2個を24回振って1回でも6のゾロ目が出る確率は $1-(35/36{)}^{24}\approx 0.491$ で、こっちは半分を切る

＞＞16
どっちも「当たり確率×回数」は $4/6$ と $24/36$ で同じやのに、結果が違うんか

＞＞17
「確率×回数」は、当たりが重なる分を数えすぎてるから、そのままでは確率にならない
余事象で「1回も当たらない」を出してから引くのが、確実なやり方

検定をたくさんやると、どれかが有意になりやすいのも同じ話？

＞＞19
同じ形。有意水準5%で、独立な検定を20回やると

本当は全部差がなくても、どれか1つが有意になる確率は約64%