【疑問】クラメール・ラオの不等式って、どうやって導くん？下限を達成しない不偏推定量はダメなん【統計検定1級】

クラメール・ラオの下限 $1/(nI(\theta ))$ の導出で、コーシー・シュワルツをどこに使うのか分からん

前提のおさらいを2つ
フィッシャー情報量 $I(\theta )=E[S^2]=V[S]$（$E[S]=0$ やから）。$n$ 個なら $nI(\theta )$
ラオ・ブラックウェルの定理で、十分統計量で条件付けると不偏推定量の分散は減る

＞＞1
鍵は、不偏推定量 $\hat{\theta }$ とスコア $S_n$ の共分散が1になること
$E[\hat{\theta }]=\int \hat{\theta }fdx=\theta$ を $\theta$ で微分すると

$E[S_n]=0$ やから $\mathrm{Cov}(\hat{\theta },S_n)=1$

＞＞3
そこでコーシー・シュワルツ

だから $V[\hat{\theta }]\ge \frac{1}{nI(\theta )}$

＞＞4
数字で。ベルヌーイなら下限は $\frac{p(1-p)}{n}$ で、$\bar{X}$ の分散とちょうど同じ
$n=20,p=0.3$ なら $0.0105$。$\bar{X}$ は下限を達成する（有効推定量）

＞＞4
等号はいつ成り立つん

＞＞6
コーシー・シュワルツの等号やから、$S_n$ が $\hat{\theta }-\theta$ の定数倍のとき。$S_n=k(\theta )(\hat{\theta }-\theta )$
ポアソンなら $S_n=\frac{\sum x_i}{\lambda }-n=\frac{n}{\lambda }(\bar{x}-\lambda )$ で、$\bar{X}$ が下限 $\lambda /n$ を達成
この形になるのは指数型分布族の特定の母数だけ

＞＞7
達成しない例：正規で $\mu$ も未知のときの $s^2$
下限は $2{\sigma }^4/n$、$s^2$ の分散は $2{\sigma }^4/(n-1)$ で、少し大きい

＞＞8
下限を達成しないなら、もっといい不偏推定量があるってことやろ

＞＞9
そうとは限らない。$s^2$ は一様最小分散不偏推定量で、不偏推定量の中ではこれが最良
下限は「これより小さくはならない」線で、届くとは限らない。届かない場合は、ラオ・ブラックウェルとレーマン・シェフェで最良を示す

＞＞10
逆に、下限より小さい分散の不偏推定量が出てくることもある。$U(0,\theta )$ の $\frac{n+1}{n}\max X_i$ は分散 $\frac{{\theta }^2}{n(n+2)}$
範囲が $\theta$ で動いて正則条件を満たさないから、そもそも不等式が使えない

$g(\theta )$ の不偏推定量なら、下限は $g^{\prime }(\theta {)}^2/(nI(\theta ))$。共分散が $g^{\prime }(\theta )$ になるだけ

共分散が1、コーシー・シュワルツ、等号はスコアが1次式。届かないときは別の道具で最良を示す。この区別を答案で書ければよさそうやな