【疑問】因子分析って主成分分析と何が違うん？因子負荷と共通性を数値で確かめたい【統計検定1級】

1因子の因子分析モデルを書いて、因子負荷・共通性を求め、主成分分析との違いを述べよ、って問題

前提のおさらい。主成分分析は相関行列 $R$ の固有値分解で、分散が最大になる線形結合を順に探す。第1主成分と各変数の相関（負荷量）は $\sqrt{{\lambda }_1}{a}_1$

＞＞1
因子分析は向きが逆。観測変数を、共通の因子と変数ごとの独自の部分で説明する

標準化して $V[z_j]=1$ なら、${\lambda }_j^2$ が共通性、${\psi }_j=1-{\lambda }_j^2$ が独自性

＞＞3
このモデルから、違う変数どうしの相関は
$r_{jk}={\lambda }_j{\lambda }_k$
$\lambda =(0.9,0.8,0.7)$ なら $r_{12}=0.72,r_{13}=0.63,r_{23}=0.56$

＞＞4
逆に相関から負荷を出せる。3変数なら

${\lambda }_1=0.9$。共通性0.81、独自性0.19。同じように ${\lambda }_2=0.8$、${\lambda }_3=0.7$ も出る

＞＞5
同じ相関行列で主成分分析をすると、第1主成分の負荷量は $0.90,0.88,0.83$
因子負荷 $0.9,0.8,0.7$ より、弱い変数ほど大きく出る。主成分は独自の部分も含めて分散を説明しようとするから

＞＞6
結局どっちも似た数字やん。わざわざ別の方法として覚える意味ある？

＞＞7
目的が違う。主成分分析はデータの要約で、モデルの仮定はない。因子分析は「相関を生み出す見えない因子がある」というモデルで、相関を ${\lambda }_j{\lambda }_k$ で説明できるかを確かめる
独自性が大きい変数があると、2つの結果ははっきりずれる

＞＞1
因子が2つ以上やと？

＞＞9
負荷の行列を回転しても同じ相関行列になるから、負荷は一意に決まらない。解釈しやすい形に回転する（バリマックス回転など）
回転で数字が変わるから、因子に名前をつけるのは分析する人の判断。データから一意に出たものではない

1因子なら $r_{jk}={\lambda }_j{\lambda }_k$、共通性 ${\lambda }_j^2$、主成分は独自の部分も抱えるから負荷が大きめ、2因子以上は回転の不定性。これで答えられるな